Условия задач

VI тур

6 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Серёжа собирает игрушечные железные дороги. У него есть несколько наборов, в каждом из которых разное количество вагонов. Если все наборы объединить в один состав, то в нём будет 112 вагонов. Если взять три самых маленьких набора, то в них будет 25 вагонов, а в трёх самых больших – 50 вагонов. Сколько наборов у Серёжи? Сколько вагонов в самом большом наборе?

2.С помощью четырёх арифметических действий (а также, при необходимости, расставляя скобки) запишите число 2016, используя последовательно цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3.Найдите все четырёхзначные числа, которые на 7182 меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке.

4.Тётя Зина продаёт в электричке носки – одну пару за 2 рубля или 3 пары за 5, причём с каждой такой продажи получает одинаковую прибыль. По какой цене ей надо продавать 5 пар, чтобы при этом получать такую же прибыль?

5.Имеются книги, которых больше 200, но меньше 400. Если их сложить в пачки по 6 штук, то 3 книги останутся; если их сложить по 7 штук, то тоже останутся 3 книги; а если сложить по 9 штук, то ничего не останется. Сколько всего книг? 

 

6 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Два человека, у которых есть один велосипед, должны попасть из  А в В, расстояние между которыми 40 км. Первый идёт пешком со скоростью 4 км/ч, а на велосипеде едет со скоростью 30 км/ч. Второй пешком идёт со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде – 20 км/ч. За какое наименьшее время они смогут добраться до  при условии, что велосипед можно оставлять на дороге?

2.Петров выписывает нечётные числа: 1, 3, 5, …, 2013, а Васечкин – чётные 2, 4, 6, …, 2012. Каждый посчитал сумму всех цифр всех своих чисел и сказал отличнице Маше. Маша вычла из результата Петрова результат Васечкина. Сколько у неё получилось?

3.В школе учится не менее 150 мальчиков, а девочек – на 15% больше, чем мальчиков. Когда мальчики поехали на сборы, потребовалось 6 автобусов, причём в каждом автобусе ехало одинаковое количество школьников. Сколько всего человек учится в школе, если известно, что общее число учащихся не больше 400?

4.Найдите наибольшее трёхзначное число, которое кратно сумме своих цифр и в котором первая цифра совпадает с третьей, но не совпадает со второй.

5.Когда Петя вышел из дома, он заметил, что биссектриса угла между часовой и минутной стрелкой указывает вертикально вверх. А когда пришёл в школу, заметил, что биссектриса указывает на деление, соответствующее 13 минутам. Сколько времени он шёл (известно, что он шёл меньше часа)?

 

ol892

 

 

свернуть

V тур

5 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.В магазин привезли крупу, сахар и соль. Полмешка соли весят на 5 кг больше, чем полмешка сахара. А два мешка сахара весят на 10 кг больше, чем два мешка крупы. На сколько килограммов мешок соли тяжелее мешка крупы?

2.Двум муравьям, Толстому и Тонкому, нужно перенести по 150 г груза из точки  (где они сейчас находятся) в точку , расстояние между которыми равно 150 метрам. Толстый муравей ходит со скоростью 3 м/мин, но может унести 5 г груза, Тонкий – со скоростью 5 м/мин, но может унести лишь 3 г груза. Кто из них первым доставит все 150 г в точку ? Скорость муравья с грузом не отличается от скорости муравья без груза.

3.В календаре планеты Драконов все месяцы содержат одинаковое число дней. Через 100 дней после 20-го дня месяца будет 15-й день месяца, а через 75 дней после предпоследнего дня месяца будет 4-й день месяца. Сколько дней в драконьем месяце?

4.Запишите в ряд 10 чисел так, чтобы первое число совпало с количеством нулей в этом ряду, второе – с количеством единиц в этом ряду, третье – с количеством двоек в этом ряду и т.д. Последнее число должно совпадать с количеством девяток.

5.Представьте число 2008 в виде суммы пяти натуральных слагаемых так, чтобы все цифры в записи этих чисел были различны.        

5 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Найдите какое-нибудь число, у которого произведение суммы цифр на их количество равно 2010.

2.Расставьте в ряд числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих чисел (первое число должно без остатка делиться на второе, сумма первых двух – на третье, сумма первых трёх – на четвёртое и т.д.).

3.Четверо школьников, среди которых Петя и Вася, решили взвеситься парами. Взвесились все возможные пары, кроме пары Петя и Вася. Результаты взвешиваний оказались следующими: 78 кг, 81 кг, 82 кг, 83 кг и 84 кг. Сколько весят вместе Петя и Вася?

4.В тараканьих бегах участвовало 20 тараканов. Никакие два таракана не пришли к финишу одновременно. После финиша корреспондент газеты «Тараканий курьер» взял интервью у хозяев тараканов и у каждого из них спросил, какое место занял его таракан. Каждый из 20 хозяев назвал одно из чисел от 1 до 20. Сумма всех названных чисел оказалась равна 100. Какое наименьшее число лживых ответов могло быть дано?

5.В левом нижнем углу клетчатой доски 10 х 20  стоит фишка. Малыш и Карлсон по очереди делают ходы. За один ход можно передвинуть фишку на любое число клеток вверх или на любое число клеток вправо. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (вниз и влево ходить нельзя). Первым ход делает Карлсон. Кто выиграет и как он должен играть, чтобы добиться победы независимо от игры противника?      

5 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.В прямоугольном треугольнике АВС  на гипотенузе АВ отмечена точка М, такая, что СМ=МВ  и АМ=ВС. Найдите угол АВС.

2.На олимпиаде по математике школьникам было предложено пять задач. Каждая задача оценивалась натуральным числом баллов, и поскольку все задачи были разной сложности, то никакие две из них не оценивались одинаковым числом баллов. Вася полностью решил три самые лёгкие задачи и получил за них 13 баллов, а Петя полностью решил три самые трудные задачи и получил за них 23 балла. Сколько баллов получил Федя, который занял первое место, полностью решив все пять задач?

3.Существуют ли целые x, y, удовлетворяющие равенству x^2+〖(x+1)〗^2-7y^2=2007?

4.В десятичной записи натурального числа N содержится ровно 2006 единиц, 2006 двоек, 2006 троек, 2006 четвёрок, никаких других цифр число  не содержит. Может ли число N+1  быть простым?

5.18 декабря 2006 года любителю математики Василию Ивановичу Петрову исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. В каком году родился В. И. Петров?       

 

свернуть

IV тур

4 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.У каждого марсианина не менее двух ушей. Однажды встретились марсиане Имми, Димми и Тримми и посмотрели друг на друга. Имми сказал: «Я вижу 8 ушей». Димми сказал: «Я вижу 7 ушей». Тримми сказал: «А я вижу только 5 ушей». Ни один марсианин не может видеть собственных ушей. Сколько ушей у Тримми?

2.Томас купил 100 свечей. Он сжигает одну свечу каждый день и делает одну новую свечу из остатка воска от семи сожженных. Через сколько дней у него не останется ни одной свечи?

3.На прямой отмечено 5 точек. Саша вычислил расстояния между всеми возможными парами этих точек. Он получил (в порядке возрастания) следующие результаты: 2, 5, 6, 8, 9, , 15, 17, 20 и 22. Чему равно ?

4.Саша хотел сложить на калькуляторе два числа. Набирая второе число, он случайно нажал в конце лишний нуль. Поэтому вместо 2331 у него получилось 7641. Какие числа хотел сложить Саша?

5.На доске в ряд написаны целые числа от 1 до 18. Можно ли расставить между ними знаки «плюс» и «минус» так, чтобы полученное выражение было равно нулю?

4 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Закрасьте несколько клеток таблицы  так, чтобы в каждой строке было ровно три закрашенные клетки, а в каждом столбце – либо одна, либо четыре.

2.Выпишем в порядке возрастания все семизначные числа, в записи которых используется по разу каждая из цифр от 1 до 7. Чему равно последнее из этих чисел в первой половине списка?

3.Лиза и Маша соревнуются в решении задач. У них имеются одинаковые комплекты из 100 задач. За каждую задачу та девочка, которая решила её первой, получает 4 балла, а та, которая решила её второй, 1 балл. За нерешённые задачи баллы не начисляются. Лиза решила 60 задач, и Маша также решила 60 задач. Вместе они получили 312 баллов. Сколько было таких задач, которые решила каждая из девочек?

4.Андрей переводит дробь  в десятичную. Какую цифру напишет Андрей на 2019-м месте после запятой в своей десятичной дроби?

5.У Змея Горыныча 2010 голов. Иван-царевич может срубить ему одним ударов меча 21, 17 или 1 голову, но при это у него вырастает взамен 0, 14, 49 голов соответственно. Если отрублены все головы, то новых голов не вырастает. Сможет ли Иван-царевич одолеть Змея Горыныча?

4 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.Найдите наименьшее делящееся на 99 натуральное число, все цифры которого чётны.

2.Параллелограмм  имеет площадь . Диагонали пересекаются в точке . На стороне  выбрана точка . Отрезки  пересекаются в точке , а отрезки  – в точке . Сумма площадей треугольников  равна . Чему равна площадь четырёхугольника ?

3.Найдите все четвёрки простых чисел  для которых .

4.В лесах волшебного острова бродят три вида животных: львы, волки и овцы. Волки могут есть овец, а львы могут есть и овец, и волков. Однако, поскольку это волшебный остров, то если волк съест овцу, он превращается во льва, если лев съест овцу, то превращается в волка, а если лев съест волка, то превращается в овцу. Первоначально на острове было 17 овец, 55 волков и 6 львов. Какое максимально возможное число животных может остаться на острове после того, как никакое животное не может больше съесть ни одно другое животное?

5.Старшие коэффициенты квадратных трёхчленов  и  равны 1. Найдите , если известно, что  и .   

 

свернуть

III тур

3 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Замените в выражении ОСЕНЬ + ОКТЯБРЬ одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы разными цифрами так, чтобы полученная сумма была наибольшей возможной и найдите эту сумму.

2.Если этот день не идет вслед за понедельником и не перед четвергом, а завтра не воскресенье и вчера было не воскресенье, а послезавтра будет не суббота и позавчера была не среда, то что это за день?

3.Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько существует трёхзначных хороших чисел без нуля в записи?

4.На доске записано натуральное число. Каждую минуту с ним делают следующую операцию: если в нем есть две одинаковых цифры, то стирают любую из них, если же все цифры различны, то стирают все числа и вместо него пишут втрое большее число. Например, из числа 57 можно за 2 минуты получить 5717171 или 5717117. Мария написала двузначное число и через несколько минут снова получила его же. Приведите пример, как она могла это сделать.

5.В коробке лежат пуговицы красного и синего цвета. Наугад достают две пуговицы. Если пуговицы одного цвета, то их выбрасывают, а в коробку добавляют одну синюю пуговицу. Если они разных цветов, то синюю пуговицу выбрасывают, а красную кладут обратно. В конце такой деятельности в банке остаётся одна пуговица. Какого она цвета и почему, если первоначально количество красных пуговиц в коробке равно 2020?

 

3 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Попарные произведения  натуральных чисел  есть 64, 88, 120 и 165 в каком-то порядке. Найдите .

2.Фрекен Бок три дня подряд пекла плюшки. В первый же день Карлсон стащил у неё некоторое количество плюшек и съел 128 из них. На следующий день Карлсон стащил у Фрекен Бок столько плюшек, сколько осталось у него со вчерашнего дня, и съел 250 плюшек. На третий день Карлсон опять взял у Фрекен Бок столько плюшек, сколько осталось у него на кануне, и съел 300 плюшек. После этого у него ничего не осталось. Сколько плюшек стащил Карлсон в первый день?

3.Замените в выражении ОСЕНЬ + ОКТЯБРЬ одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы разными цифрами так, чтобы десятичная запись полученной суммы заканчивалась на наибольшее количество нулей и укажите возможные значения этой суммы.

4.Назовём натуральное число хорошим, если все цифры, входящие в его запись, повторяются в ней хотя бы дважды (например, 1522521 — хорошее, 1522522 — нет). Сколько существует четырехзначных хороших чисел без нуля в записи?

5.В равнобедренном треугольнике  () на стороне  взяли точки  и  ( ближе к , чем ) такие, что и углы  и  равны. Чему равен угол ?

 

3 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.В треугольнике   см. Найдите длину биссектрисы угла .

2.Обозначим через  сумму цифр в десятичной записи натурального числа . Найдите наибольшее значение выражения .

3.Ева и Мартин имеют целое число евро каждый. Мартин сказал Еве: «Если ты мне дашь 3 евро, то у меня будет в  раз больше евро, чем у тебя.» На что Ева возразила: «Если ты мне дашь  евро, то у меня будет в 3 раза больше евро, чем у тебя.» Какие натуральные значения может принимать ?

4.На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?

5.Найдите наименьшее натуральное число вида , делящееся на 19, где 𝑛 − натуральное число.  

свернуть

II тур

2 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Расставьте в вершинах и серединах сторон треугольника числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих на каждой из сторон, была одна и та же.

2.На листке клетчатой бумаги нарисован прямоугольник . Разрежьте его на несколько квадратиков так, чтобы один из квадратиков был меньше всех остальных.

3.Полный бидон с молоком весит 20 кг, а бидон, наполненный молоком наполовину, весит 14 кг. Сколько будет весить бидон, если его наполнить на треть?

4.На доске написано число 1. За один ход разрешается либо прибавить к числу сумму всех его цифр, либо переставить его цифры в любом порядке. За какое наименьшее число ходов можно получить трехзначное число?

5.По траве вереницей вплотную друг за другом ползут сороконожки. Длина каждой сороконожки 10 см. В 12:00 сороконожки подползли к дорожке длиной 1 метр. Как только сороконожка поставит все 40 ножек на дорожку, она начинает ползти со скоростью 15 см/с, а пока хотя бы одна её ножка на траве, она ползет в 3 раза медленнее. Ровно в 12:01 последняя сороконожка сползла с дорожки и поставила свою последнюю ножку на траву. Сколько было сороконожек?

2 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.Если к двузначному числу приписать справа и слева по 1, то оно увеличится в 21 раз. Найдите число.

2.Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 73. Какое число задумал Вася (перечислите все возможные варианты)?

3.Целые числа от 1 до 2019 написаны на доске. Костя подчеркнул все числа, делящиеся на 2, затем все числа, делящиеся на 3, а затем все числа, делящиеся на 4. Сколько чисел подчеркнуто ровно 2 раза?

4.На какое наибольшее количество прямоугольников можно разрезать (без остатка) по линиям сетки клетчатый квадрат 7×7 так, чтобы среди них не оказалось одинаковых?

5.Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй – 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча остались лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

2 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.Из числа 12345678910111213…57585960 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.

2.Можно ли из прямоугольников двух видов: 11×16 и 167×167 сложить квадрат 2004×2004, если каждый из видов прямоугольников использовать не менее одного раза?

3.Найдите все пары целых чисел , которые удовлетворяют равенству .

4.В треугольнике  на стороне  отмечена точка , а на стороне  – точка  так, что . Найдите величину угла , если известно, что

5.Некоторый предприниматель решил разводить рыбу в трёх прудах, в которых до этого рыбы не было. С этой целью он запустил в первый и третий пруды по 2 тонны мальков, а во второй пруд – 1 тонну. Через месяц он выловил для продажи 2 тонны подросшей рыбы из первого пруда, еще через месяц – 1 тонну из второго пруда, а еще через месяц – всю рыбу, оставшуюся во всех трёх прудах. Сколько всего рыбы он выловил в последний раз, если в этот самый раз из третьего пруда её было выловлено на 2 тонны больше, чем из первых двух вместе? Считать, что масса рыбы увеличивается равномерно. 

 

свернуть

I тур

1 тур (1 группа) 4 – 5 классы

1.Щука плывёт за карасём. Скорость щуки равна 10 м/с, а скорость карася – 6 м/с. На каком расстоянии они будут через 3 с, если сейчас между ними 80 м? Через какое время щука догонит карася?

2.Аня взяла из коробки половину всех конфет, Боря взял половину остатка, а Витя взял половину нового остатка. После этого в коробке осталось 8 конфет. Сколько конфет было в коробке первоначально?

3.Когда мальчика спросили, сколько ему лет, он ответил: «Вместе с сестрой мне 19 лет, а 5 лет назад я был вдвое старше сестры». Сколько лет мальчику?

4.Сумма двух чисел 715. Одно из чисел заканчивается нулём. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

5.Купили конфеты, сок и торт. Найдите стоимость покупки, если известно, что за конфеты заплатили в 2 раза больше, чем за сок, но на 12 рублей меньше, чем за торт, а сок стоил в 5 раз дешевле, чем торт.

 

1 тур (2 группа) 6 – 7 классы

1.В ящике лежат 35 шариков. Двое игроков по очереди берут от одного до пяти шариков. Тот, кто возьмёт последний шарик, - проиграл. Кто и как может обеспечить себе выигрыш, независимо от ходов соперника: первый игрок или второй?

2.Купили конфеты, сок и торт. Найдите стоимость покупки, если известно, что за конфеты заплатили в 2 раза больше, чем за сок, но на 12 рублей меньше, чем за торт, а сок стоил в 5 раз дешевле, чем торт.

3.В стране Дураков за 2 золотые монеты дают 3 букваря, а за 7 серебряных монет дают 4 букваря. За 33 корочки хлеба дают 24 пиявки, а за 42 серебряные монеты дают 48 пиявок. Сколько корочек хлеба дают за 8 золотых? Ответ объясните.

4.В двух пакетах было по 11 кг конфет. После того, как из первого пакета взяли в 3 раза больше конфет, чем из второго, в первом пакете осталось в 4 раза меньше конфет, чем во втором. Сколько конфет взяли из каждого пакета?

5.Истратив половину денег, я заметила, что осталось вдвое меньше рублей, чем было первоначально копеек, и столько же копеек, сколько было первоначально рублей. Сколько денег я истратила?

 

1 тур (3 группа) 8 – 9 классы

1.Группа туристов, выйдя в 8:00, движется со скоростью 6 км/ч и делает 15-минутный привал после каждых 10 км пути. Сколько км пройдёт группа к 15:30?

2.Пусть  – любое нечётное число, большее 3. Докажите, что предпоследняя цифра числа  является чётной.

3.Дуремар раскладывает пиявок по банкам: в первую банку он положил двух пиявок, во вторую – трёх пиявок и так далее, т.е. в каждую следующую банку он клал на одну пиявку больше, чем в предыдущую. При этом в последнюю имеющуюся у него банку он положил ровно десятую часть всех своих пиявок, а остальных пиявок сложил в коробку. Сколько было у Дуремара банок и сколько пиявок, если общее количество банок и пиявок у него равно 98?

4.На стороне  треугольника  отмечена точка  так, что . На стороне  отмечена точка , такая, что  и . Найдите углы треугольника . 

5.Однажды Дядя Фёдор, кот Матроскин и Шарик пошли на рыбалку. Улов оказался большим. Дядя Фёдор поймал половину от общего улова без 0,4 того, что поймали вместе кот Матроскин и Шарик. Кот Матроскин поймал треть от общего улова и 0,2 того, что поймали вместе Дядя Фёдор и Шарик. Улов Шарика отличается от улова Матроскина на 1 кг. Сколько весил общий улов? 

свернуть